Question

【题目】极坐标系中椭圆C的方程为ρ2= ，以极点为原点，极轴为x轴非负半轴，建立平面直角坐标系，且两坐标系取相同的单位长度．
（1）若椭圆上任一点坐标为P（x，y），求 的取值范围；
（2）若椭圆的两条弦AB，CD交于点Q，且直线AB与CD的倾斜角互补，求证：|QA||QB|=|QC||QD|．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵椭圆C的方程为ρ2= ，

∴椭圆C的直角坐标方程为 ，

设 ，

则

= ．

∴ 的取值范围是[1﹣ ]

（2）证明：设直线AB的倾斜角为α，直线CD的倾斜角为π﹣α，Q（x0，y0），

则直线AB的参数方程为 ，（t为参数），

代入x2+2y2=2，得：（x0+tcosα）2+2（y0+tsinα）2﹣2=0，

即（cos2α+2sin2α）t2+（2x0cosα+4y0sinα）t+（ ﹣2）=0，

设A、B对应的参数分别为t1，t2，

则|QA||QB|=|t1t2|=| |，

同理，|QC||QB|=| |=| |，

∴|QA||QB|=|QC||QD|

【解析】（1）由椭圆C的极坐标方程能椭圆C的直角坐标方程，设 ，由三角函数性质能求出 的取值范围．（2）设直线AB的倾斜角为α，直线CD的倾斜角为π﹣α，Q（x0 ， y0），直线AB的参数方程为 ，（t为参数），代入x2+2y2=2，得：（x0+tcosα）2+2（y0+tsinα）2﹣2=0，推导出|QA||QB|=|t1t2|=| |，同理，|QC||QB|=| |=| |，由此能证明|QA||QB|=|QC||QD|．