【题目】已知函数(
是自然对数的底数,
).
(1)求函数的单调递增区间;
(2)若为整数,
,且当
时,
恒成立,其中
为
的导函数,求
的最大值.
【答案】(1)当时,
的增区间为
;当
时,
的增区间为
;(2)2.
【解析】
试题分析:(1)求单调增区间,只要解不等式,它的解集区间就是所求增区间;(2)不等式
恒成立,不等式具体化为
,由于
,因此又可转化为
,这样
小于
的最小值,因此下面只要求
的最小值.
,接着要讨论
的零点,由于
在
上单调递增,且
,因此
在
上有唯一零点,即
在
上存在唯一的零点,设其为
,则
,可证得
为最小值,
,从而整数
的最大值为2.
试题解析:(1).
若,则
恒成立,所以,
在区间
上单调递增.........2分
若,当
时,
,
在
上单调递增.
综上,当时,
的增区间为
;当
时,
的增区间为
..... 4分
(2)由于,所以,
当时,
,故
————① 6分
令,则
函数在
上单调递增,而
所以在
上存在唯一的零点,
故在
上存在唯一的零点. 8分
设此零点为,则
.
当时,
;当
时,
;
所以,在
上的最小值为
.由
可得
10分
所以,由于①式等价于
.
故整数的最大值为2. 12分
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【题目】一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示,在正方体中,设BC的中点为M,GH的中点为N
(1)请将字母F,G,H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由);
(2)证明:直线MN∥平面BDH
(3)求异面直线MN与AG所成角的余弦值
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【题目】设F1 , F2是椭圆 (0<b<2)的左、右焦点,过F1的直线l交椭圆于A,B两点,若|AF2|+|BF2|最大值为5,则椭圆的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】一台还可以用的机器由于使用的时间较长,它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺陷,每小时生产有缺陷零件的多少随机器运转的速率而变化,下表为抽样试验结果:
转速x(转/秒) | 16 | 14 | 12 | 8 |
每小时生产有缺陷的零件数y(件) | 11 | 9 | 8 | 5 |
(1)画出散点图;
(2)如果y与x有线性相关的关系,求回归直线方程;
(3)若实际生产中,允许每小时生产的产品中有缺陷的零件最多为10个,那么机器的运转速度应控制在什么范围内?
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【题目】某公司过去五个月的广告费支出与销售额
(单位:万元)之间有下列对应数据:
2 | 4 | 5 | 6 | 8 | |
40 | 60 | 50 | 70 |
工作人员不慎将表格中的第一个数据丢失.已知
对
呈线性相关关系,且回归方程为
,则下列说法:①销售额
与广告费支出
正相关;②丢失的数据(表中
处)为30;③该公司广告费支出每增加1万元,销售额一定增加
万元;④若该公司下月广告投入8万元,则销售
额为70万元.其中,正确说法有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
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【题目】如图,O为坐标原点,点F为抛物线C1:x2=2py(p>0)的焦点,且抛物线C1上点M处的切线与圆C2:x2+y2=1相切于点Q.
(Ⅰ)当直线MQ的方程为 时,求抛物线C1的方程;
(Ⅱ)当正数p变化时,记S1 , S2分别为△FMQ,△FOQ的面积,求 的最小值.
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【题目】极坐标系中椭圆C的方程为ρ2= ,以极点为原点,极轴为x轴非负半轴,建立平面直角坐标系,且两坐标系取相同的单位长度.
(1)若椭圆上任一点坐标为P(x,y),求 的取值范围;
(2)若椭圆的两条弦AB,CD交于点Q,且直线AB与CD的倾斜角互补,求证:|QA||QB|=|QC||QD|.
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【题目】如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AD=DC=CB=1,∠BCD=120°,四边形BFED为矩形,平面BFED⊥平面ABCD,BF=1.
(1)求证:AD⊥平面BFED;
(2)已知点P在线段EF上,=2.求三棱锥E-APD的体积.
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【题目】如图所示,已知曲线C1:y=(x>0)及曲线C2:y=
(x>0).C1上的点Pn的横坐标为an,
过C1上的点Pn(n∈N+)作直线平行于x轴,交曲线C2于点Qn,再过点Qn作直线平行于y轴,交曲线C1于点Pn+1.
试求an+1与an之间的关系,并证明a2n-1<<a2n(n∈N+).
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