Question

【题目】如图，O为坐标原点，点F为抛物线C1：x2=2py（p＞0）的焦点，且抛物线C1上点M处的切线与圆C2：x2+y2=1相切于点Q．

（Ⅰ）当直线MQ的方程为 时，求抛物线C1的方程；
（Ⅱ）当正数p变化时，记S1 ， S2分别为△FMQ，△FOQ的面积，求 的最小值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）设点 ，由x2=2py（p＞0）得， ，求导 ，
而直线MQ的斜率为1，
∴ 且 ，
解得： ．
∴抛物线的标准方程：x2=4 y；
（Ⅱ）因为点M处的切线方程为： ，即 ，
根据切线又与圆相切，得d=r，即 ，化简得 ，
4p2=x04﹣4x02＞0，解得：丨x0丨＞2，
由方程组 ，解得：Q（ ， ），
由丨PQ丨= 丨xP﹣xQ丨= 丨x0﹣ 丨= （x02﹣2），
点F（0， ）到切线PQ的距离d= = = ，
则S1= 丨PQ丨d= （x02﹣2），S1= 丨OF丨丨xQ丨= ，
∴ = = = = + +3≥2 +3，
当且仅当 = 时，取“=”号，即x02=4+2 ，此时p= ，
所以 的最小值为

【解析】（Ⅰ）求导，根据导数的几何意义，求得 且 ，即可求得p的值，求得抛物线的标准方程；（Ⅱ）求得切线方程，利用点到直线的距离公式可知 ，将切线方程代入椭圆方程，求得丨PQ丨，分别表示出S1 ， S2 ， 根据基本不等式的性质，即可求得 的最小值．