Question

【题目】已知直线l的参数方程为 （t为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l与圆C交于A，B两点．
（1）求圆C的直角坐标方程及弦AB的长；
（2）动点P在圆C上（不与A，B重合），试求△ABP的面积的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由ρ=4cosθ得ρ2=4ρcosθ，

所以x2+y2﹣4x=0，所以圆C的直角坐标方程为（x﹣2）2+y2=4．

将直线l的参数方程代入圆C：（x﹣2）2+y2=4，并整理得 ，

解得t1=0， ．

所以直线l被圆C截得的弦长为

（2）

解：直线l的普通方程为x﹣y﹣4=0．

圆C的参数方程为 （θ为参数），

可设曲线C上的动点P（2+2cosθ，2sinθ），

则点P到直线l的距离 = ，

当 时，d取最大值，且d的最大值为 ．

所以 ，

即△ABP的面积的最大值为

【解析】（1）根据极坐标以及直角坐标方程的关系求出圆C的直角坐标方程即可，联立直线的参数方程和圆的方程，求出弦长即可；（2）求出直线的普通方程以及圆的参数方程，可设曲线C上的动点P（2+2cosθ，2sinθ），求出点P到直线l的距离，结合三角函数的性质求出△ABP的面积的最大值．