Question

【题目】已知斜率为的直线与椭圆C：交于A、B两点，线段AB的中点为M（），（m）。

（1）证明：；

（2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且++=，证明：2||=||+||．

Answer 1

【答案】（1）见解析(2)见解析

【解析】

（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），利用点差法得6（x1﹣x2）+8m（y1﹣y2）=0，k==﹣=﹣，又点M（1，m）在椭圆内，即，解得m的取值范围，即可得k＜﹣，

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x3，y3），可得x1+x2=2

由++=，可得x3﹣1=0，由椭圆的焦半径公式得则|FA|=a﹣ex1=2﹣x1，|FB|=2﹣x2，|FP|=2﹣x3=．即可证明|FA|+|FB|=2|FP|．

（1）设点,,则,

两式相减有:,

即:

由题知:,

由题设得: ,故

（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x3，y3），

可得x1+x2=2

∵++=，F（1，0），∴x1﹣1+x2﹣1+x3﹣1=0，

∴x3=1

由椭圆的焦半径公式得则|FA|=a﹣ex1=2﹣x1，|FB|=2﹣x2，|FP|=2﹣x3=．

则|FA|+|FB|=4﹣，

∴|FA|+|FB|=2|FP|，