Question

【题目】如图所示，已知抛物线C1：x2＝2py的焦点在抛物线C2：，点P是抛物线C1上的动点．

(1)求抛物线C1的方程及其准线方程；

(2)过点P作抛物线C2的两条切线，M，N分别为两个切点，设点P到直线MN的距离为d，求d的最小值．

Answer 1

【答案】（1），；（2）

【解析】

（1）由题意抛物线C1的焦点为抛物线C2的顶点（0，1），由此算出p=2，从而得到抛物线C1的方程，得到C1的准线方程；（2）设P（2t，t2），用直线方程的点斜式列出直线PM方程并将点P坐标代入，化简可得 同理得到．然后利用一元二次方程根与系数的关系，算出x1+x2=4t，x1x2=2t2﹣2，将直线MN的两点式方程化简并代入前面算出的式可得MN的方程为y=2tx+2﹣t2．最后利用点到直线的距离公式列式，采用换元法并且运用基本不等式求最值，即可算出P到直线MN的距离d的最小值为．

(1)C1的焦点为，所以＝0＋1，得p＝2.故C1的方程为x2＝4y，其准线方程为y＝－1.

(2)设P(2t，t2)，M，N，则PM的方程为y－＝x1(x－x1)，将P点坐标代入得t2＝2tx1－x＋1，即x－4tx1＋2t2－2＝0，同理得x－4tx2＋2t2－2＝0.MN的方程为y－＝ (x－x1)，即y－＝ (x1＋x2)(x－x1)．

由得x1＋x2＝4t， x－2tx1＝1－t2，所以直线MN的方程为y＝2tx＋2－t2.

于是d＝＝2.

令s＝1＋4t2(s≥1)，则d＝≥＝ (当且仅当s＝3时取等号)，

所以d的最小值为.