【题目】电容器充电后,电压达到100 V,然后开始放电,由经验知道,此后电压U随时间t变化的规律用公式U=Aebt(b<0)表示,现测得时间t(s)时的电压U(V)如下表:
t(s) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
U(V) | 100 | 75 | 55 | 40 | 30 | 20 | 15 | 10 | 10 | 5 | 5 |
试求:电压U对时间t的回归方程.(提示:对公式两边取自然对数,把问题转化为线性回归分析问题)
【答案】.
【解析】
对表达式,两边同时取对数,令y=ln U,a=ln A,x=t把非线性方程转化为线性方程。根据题目的数据求解y,x的值,利用线性回归方程中的的计算公式,得出线性回归方程,再还原为非线性回归方程。
对U=Aebt两边取对数得ln U=ln A+bt,令y=ln U,a=ln A,x=t,
则y=a+bx,得y与x的数据如下表:
x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
y | 4.6 | 4.3 | 4.0 | 3.7 | 3.4 | 3.0 | 2.7 | 2.3 | 2.3 | 1.6 | 1.6 |
根据表中数据作出散点图,如图所示,
从图中可以看出,y与x具有较强的线性相关关系,
由表中数据求得=5,≈3.045,进而可以求得≈-0.313,=-=4.61.
所以y对x的线性回归方程为y=4.61-0.313x.
由y=ln U,得U=ey,U=e4.61-0.313x=e4.16·e-0.313x.
因此电压U对时间t的回归方程为.
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【题目】某厂有容量300吨的水塔一个,每天从早六点到晚十点供应生活和生产用水,已知:该厂生活用水每小时10吨,工业用水总量W(吨)与时间t(单位:小时,规定早晨六点时t=0)的函数关系为W=100 ,水塔的进水量有10级,第一级每小时水10吨,以后每提高一级,进水量增加10吨.若某天水塔原有水100吨,在供应同时打开进水管.问该天进水量应选择几级,既能保证该厂用水(即水塔中水不空),又不会使水溢出?
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【题目】已知函数f(x)=ex+be﹣x﹣2asinx(a,b∈R).
(1)当a=0时,讨论函数f(x)的单调区间;
(2)当b=﹣1时,若f(x)>0对任意x∈(0,π)恒成立,求a的取值范围.
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【题目】一台机器由于使用时间较长,生产的零件有一些缺损.按不同转速生产出来的零件有缺损的统计数据如下表所示:
转速x(转/秒) | 16 | 4 | 12 | 8 |
每小时生产有缺损零件数y(个) | 11 | 9 | 8 | 5 |
(1)作出散点图;
(2)如果y与x线性相关,求出回归直线方程;
(3)若实际生产中,允许每小时的产品中有缺损的零件最多为10个,那么,机器的运转速度应控制在什么范围内?
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【题目】如图,O为坐标原点,点F为抛物线C1:x2=2py(p>0)的焦点,且抛物线C1上点M处的切线与圆C2:x2+y2=1相切于点Q.
(Ⅰ)当直线MQ的方程为 时,求抛物线C1的方程;
(Ⅱ)当正数p变化时,记S1 , S2分别为△FMQ,△FOQ的面积,求 的最小值.
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【题目】某中学作为蓝色海洋教育特色学校,随机抽取100名学生,进行一次海洋知识测试,按测试成绩(假设考试成绩均在[65,90)内)分组如下:第一组[65,70),第二组 [70,75),第三组[75,80),第四组 [80,85),第五组 [85,90).得到频率分布直方图如图C34.
(1)求测试成绩在[80,85)内的频率;
(2)从第三、四、五组学生中用分层抽样的方法抽取6名学生组成海洋知识宣讲小组,定期在校内进行义务宣讲,并在这6名学生中随机选取2名参加市组织的蓝色海洋教育义务宣讲队,求第四组至少有1名学生被抽中的概率.
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【题目】若a>0,b>0,则称 为a,b的调和平均数.如图,点C为线段AB上的点,且AC=a,BC=b,点O为线段AB中点,以AB为直径做半圆,过点C作AB的垂线交半圆于D,连结OD,AD,BD.过点C作OD的垂线,垂足为E,则图中线段OD的长度是a,b的算术平均数,那么图中表示a,b的几何平均数与调和平均数的线段,以及由此得到的不等关系分别是( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】如图,已知椭圆C: =1(a>b>0)的离心率为 ,以椭圆C的左顶点T为圆心作圆T:(x+2)2+y2=r2(r>0),设圆T与椭圆C交于点M与点N.
(1)求椭圆C的方程;
(2)求 的最小值,并求此时圆T的方程;
(3)设点P是椭圆C上异于M,N的任意一点,且直线MP,NP分别与x轴交于点R,S,O为坐标原点,求证:|OR||OS|为定值.
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