Question

17．如图是一个半圆柱与多面体ABB₁A₁C构成的几何体，平面ABC与半圆柱的下底面共面，且AC⊥BC，P为$\widehat{{A}_{1}{B}_{1}}$上的动点．
（1）证明：PA₁⊥平面PBB₁；
（2）设半圆柱和多面体ABB₁A₁C的体积分别为V₁，V₂，若V₁：V₂=3π：4，证明：AC=BC．

Answer 1

分析 （1）利用线面垂直的判定定理，即可证明结论；
（2）利用V₁：V₂=3π：4，确定C到AB的距离=$\frac{1}{2}$AB，即可得出结论．

解答 证明：（1）由题意，A₁P⊥B₁P，A₁P⊥B₁B，B₁P∩B₁B=B₁，
∴PA₁⊥平面PBB₁；
（2）设AB=2a，AA₁=h，C到AB的距离为h′，则V₁=$\frac{1}{2}π{a}^{2}h$，V₂=$\frac{1}{3}×2ah×h′$，
∵V₁：V₂=3π：4，
∴h′=a，
∵AB=2a，AC⊥BC，
∴AC=BC．

点评 本题考查线面垂直的判定，考查体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．