Question

【题目】设抛物线：上一点到焦点的距离为5．

（1）求抛物线的方程；

（2）过点的直线与抛物线交于两点, 过点作直线的垂线，垂足为，判断：三点是否共线，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）三点共线，理由见解析

【解析】

（1）解法一，利用焦半径公式直接求得值，解法二，根据点在抛物线上和两点间的距离，列方程组求解；（2）解法一，分直线的斜率不存在和存在两种情况，斜率不存在时和斜率存在时，利用直线方程和抛物线方程联立，得到根与系数的关系验证，说明三点共线，解法二，设直线与抛物线方程联立，利用说明三点共线，解法三，设直线与抛物线方程联立，利用，说明三点共线.

（1）解法1: 由已知得 ，，

抛物线的方程为

解法2: 由已知得

解得

或

又

抛物线的方程为

（2）解法1: 易知直线的斜率为0时. 直线与抛物线交于一点,不合题意.

(1)当直线的斜率不存在时，则,

,.

,

三点共线

(2)当直线的斜率存在时，设：.

,消整理得

设,,则

.

,

三点共线.

综上(1) (2)知三点共线

（2）解法2: 易知直线的斜率为0时. 直线与抛物线交于一点,不合题意.

可设直线.

由,得.

设，则

则,

又

,

三点共线

（2）解法3: 易知直线的斜率为0时. 直线与抛物线交于一点,不合题意.

可设直线.

由,得.

设，则

则,

又有公共点,

三点共线