【题目】设函数f(x)=|x-a|.
(1)当a=2时,解不等式f(x)≥4-|x-1|;
(2)若f(x)≤1的解集为[0,2],(m>0,n>0),求证:m+2n≥4.
【答案】(1);(2)证明见解析.
【解析】
(1)利用零点分段法讨论的取值范围,去绝对值解不等式即可.
(2)根据不等式的解集求出a,再利用基本不等式即可求解.
(1)当a=2时,不等式为|x-2|+|x-1|≥4.
当x≥2时,原不等式化为2x-3≥4,解得x≥,所以x≥;
当1≤x<2时,原不等式化为1≥4,无解;
当x<1时,原不等式化为3-2x≥4,
解得x≤-,所以x≤-.
所以原不等式的解集为.
(2)证明:f(x)≤1,即|x-a|≤1,解得a-1≤x≤a+1,
而f(x)≤1的解集是[0,2],
所以,解得a=1,所以=1(m>0,n>0).
所以m+2n=(m+2n)=2+,
当且仅当m=2n时,等号成立
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【题目】射击测试有两种方案,方案1:先在甲靶射击一次,以后都在乙靶射击;方案2:始终在乙靶射击,某射手命中甲靶的概率为,命中一次得3分;命中乙靶的概率为,命中一次得2分,若没有命中则得0分,用随机变量表示该射手一次测试累计得分,如果的值不低于3分就认为通过测试,立即停止射击;否则继续射击,但一次测试最多打靶3次,每次射击的结果相互独立。
(1)如果该射手选择方案1,求其测试结束后所得分的分布列和数学期望E;
(2)该射手选择哪种方案通过测试的可能性大?请说明理由。
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【题目】在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数).在以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中,直线的极坐标方程为.
(1)求曲线的普通方程及直线的直角坐标方程;
(2)求曲线上的点到直线的距离的最大值与最小值.
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【题目】设是函数定义域的一个子集,若存在,使得成立,则称是的一个“准不动点”,也称在区间上存在准不动点,已知,.
(1)若,求函数的准不动点;
(2)若函数在区间上存在准不动点,求实数的取值范围.
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【题目】设抛物线:上一点到焦点的距离为5.
(1)求抛物线的方程;
(2)过点的直线与抛物线交于两点, 过点作直线的垂线,垂足为,判断:三点是否共线,并说明理由.
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【题目】[选修4-4:坐标系与参数方程]
在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),直线的参数方程为(为参数).
(1)求和的直角坐标方程;
(2)若曲线截直线所得线段的中点坐标为,求的斜率.
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【题目】在正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别为棱AA1,CC1的中点,则在空间中与三条直线A1D1,EF,CD都相交的直线( )
A.不存在B.有且只有两条C.有且只有三条D.有无数条
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【题目】如图,椭圆 的左右焦点分别为的、,离心率为;过抛物线焦点的直线交抛物线于、两点,当时, 点在轴上的射影为。连结并延长分别交于、两点,连接; 与的面积分别记为, ,设.
(Ⅰ)求椭圆和抛物线的方程;
(Ⅱ)求的取值范围.
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