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    （本题满分12分）

    某市旅游部门开发一种旅游纪念品，每件产品的成本是元，销售价是元，月平均销售 件．通过改进工艺，产品的成本不变，质量和技术含金量提高，市场分析的结果表明，如果产品的销售价提高的百分率为，那么月平均销售量减少的百分率为．记改进工艺后，旅游部门销售该纪念品的月平均利润是（元）．

    （1）写出与的函数关系式；

    （2）改进工艺后，确定该纪念品的售价，使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大．

     

    【答案】

    （1） （2）产品的销售价为元时，旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大。

    【解析】

    试题分析：解:（Ⅰ）改进工艺后，每件产品的销售价为，月平均销售量为件，则月平均利润（元），

    ∴与的函数关系式为 

    （Ⅱ）由得，（舍）

    当时；时，∴函数 在取得最大值。

    故改进工艺后，产品的销售价为元时，旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大．

    考点：函数的应用；函数的最值；导数的实际应用。

    点评：本题是一道与实际联系较密切的题目，我们需要分析、提取数据，然后建立数学模型。建立模型的步骤可分为： (1) 分析问题中哪些是变量，哪些是常量，分别用字母表示； (2) 根据所给条件，运用数学知识，确定等量关系； (3) 写出的解析式并指明定义域。对于第二题，用到导数求函数的最值。

     

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    (2) 若，求实数a的取值范围．

     

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    （1）求的解析式；

    （2）证明：曲线的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心.

     

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    如图所示，直二面角中，四边形是边长为的正方形，，为上的点，且⊥平面

    （Ⅰ）求证：⊥平面

    （Ⅱ）求二面角的大小；

    （Ⅲ）求点到平面的距离.

     

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