Question

已知函数：f（x）=alnx﹣ax﹣3（a∈R）．
（I）讨论函数f（x）的单调性；
（II）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45^o，是否存在实数m使得对于任意的t∈[1，2]，函数g（x）=x³+x²[]在区间（t，3）上总不是单调函数？若存在，求m的取值范围；否则，说明理由；
（Ⅲ）求证：（n≥2，n∈N*）．

Answer 1

（I）解：  ，
当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；
当a＜0时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；
当a=0时，f（x）不是单调函数
（II）解：f′（2）=﹣=1得a=﹣2，f（x）=﹣2lnx+2x﹣3
∴g（x）=x³+（+2）x²﹣2x，
∴g'（x）=3x²+（m+4）x﹣2
∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）=﹣2
∴g′（t）＜0，g′（3）＞0  
由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，所以有，
∴存在﹣＜m＜﹣9
（Ⅲ）证明：令a=﹣1此时f（x）=﹣lnx+x﹣3，所以f（1）=﹣2，
由（I）知f（x）=﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上单调递增，
∴当x∈（1，+∞）时f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，
∴lnx＜x﹣1对一切x∈（1，+∞）成立，
∵n≥2，n∈N*，则有0＜lnn＜n﹣1，
∴
∴
（n≥2，n∈N*）。