Question

（2012•长春模拟）已知函数f（x）=

sinx

2+cosx

-bx（b∈R）．
（1）是否存在实数b，使得f（x）在（0，

2π

3

）上为增函数，在（

2π

3

，π）上为减函数？若存在，求出b的值；若不存在，请说明理由．
（2）如果当x≥0时，都有f（x）≤0恒成立，试求b的取值范围．

Answer 1

分析：（1）对函数f（x）=

sinx

2+cosx

-bx求导，若存在实数b，使得f（x）在（0，

2π

3

）上为增函数，在（

2π

3

，π）上为减函数，则f′(

2π

3

)=0，由此可得结论；
（2）令f′(x)=

-bcos2x+2(1-2b)cosx+1-4b

(2+cosx)2

=0，得-bcos²x+2（1-2b）cosx+1-4b=0，再分类讨论，利用当x≥0时，都有f（x）≤0恒成立，即可试求b的取值范围．

解答：解：（1）存在b=0，使得结论成立．
对函数f（x）=

sinx

2+cosx

-bx求导得f′(x)=

2cosx

(2+cosx)2

-b．
若存在实数b，使得f（x）在（0，

2π

3

）上为增函数，在（

2π

3

，π）上为减函数，则f′(

2π

3

)=0，
∴b=0，这时f′(x)=

2cosx

(2+cosx)2

，当x∈（0，

2π

3

）时，f′（x）＞0，f（x）递增；当x∈（

2π

3

，π）时，f′（x）＜0，f（x）递减．
（2）令f′(x)=

-bcos2x+2(1-2b)cosx+1-4b

(2+cosx)2

=0，
得-bcos²x+2（1-2b）cosx+1-4b=0．
∴△=4（1-2b）²+4b（1-4b）=4（1-3b）．
若b≥

1

3

，即△≤0，则f′（x）≤0对x≥0恒成立，这时f（x）在[0，+∞）上递减，
∴f（x）≤f（0）=0，符合题意．
若b＜0，则当x≥0时，-bx∈[0，+∞），

sinx

2+cosx

∈[-

3

3

，

3

3

]，f（x）=

sinx

2+cosx

-bx不可能恒小于等于0．
若b=0，则f（x）=

sinx

2+cosx

∈[-

3

3

，

3

3

]，不合题意．
若0＜b＜

1

3

，则f′（0）=

1-3b

3

＞0，f′（π）=-b-1＜0，∴?x₀∈（0，π），使f′（x₀）=0．
x∈（0，x₀）时，f′（x）＞0，这时f（x）递增，f（x）＞f（0）=0，不合题意．
综上可得实数b的取值范围是[

1

3

，+∞）．

点评：本题主要考查函数与导数的综合应用能力，具体涉及到用导数来研究函数的单调性等知识内容．