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已知二次函数f(x)是定义在R上的偶函数,且关于x的不等式f(x)<4x的解集为{x|1<x<3}.
(Ⅰ)求f(x)的解析式;
(Ⅱ)设F(x)=f(x)+bx,且当x∈[-1,2]时,函数F(x)的最小值为1,求实数b的值.
(I)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),由f(x)是偶函数知f(x)的图象关于y轴对称,
-
b
2a
=0
,即b=0,故f(x)=ax2+c.…(1分)
∵不等式f(x)<4x的解集为{x|1<x<3},
∴a>0且x1=1,x2=3是方程f(x)-4x=0即ax2-4x+c=0的两根.
由韦达定理,得
1+3=
4
a
1×3=
c
a

解得:a=1,c=3.…(5分)
∴f(x)=x2+3.…(6分)
(II)由( I)知,F(x)=x2+bx+3=(x+
b
2
)2+3-
b2
4
,对称轴x=-
b
2
.…(7分)
下面分类讨论:
①当-
b
2
≥2
,即b≤-4时,F(x)在[-1,2]上为减函数,
∴F(x)min=F(2)=2b+7=1,得b=-3(舍去).…(9分)
②当-
b
2
∈(-1,2)
,即-4<b<2时,F(x)min=F(-
b
2
)=-
b2
4
+3=1

b=-2
2
b=2
2
(舍去).…(11分)
③当-
b
2
≤-1
,即b≥2时,F(x)在[-1,2]上为增函数,
∴F(x)min=F(-1)=4-b=1,得b=3.…(13分)
综上所述,b=-2
2
或b=3为所求.…(14分)
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A.a>
2
3
B.
1
2
<a<
3
2
C.a>
1
2
D.a<
1
2

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