Question

已知圆O：x²+y²=1和定点A（2，1），由圆O外一点P（a，b）向圆O引切线PQ，切点为Q，|PQ|=|PA|成立，如图
（1）求a、b间关系；
（2）求|PQ|的最小值；
（3）以P为圆心作圆，使它与圆O有公共点，试在其中求出半径最小的圆的方程．

Answer 1

分析：（1）根据△OQP为直角三角形，且|PQ|=|PA|，利用勾股定理可得a、b间关系．
（2）根据P在直线l：2x+y-3=0上，所以|PQ|_min=|PA|_min，为A到直线l的距离，由此求得|PQ|_min的值．
（3）半径最小时为与圆O外切的情形，而这些半径的最小值为圆O到直线l的距离减去圆O的半径，圆心P为过原点与l垂直的直线l′与l的交点P₀，求得半径r和P₀的坐标，可得圆的方程．

解答：解：（1）连接OQ、OP，则△OQP为直角三角形，又|PQ|=|PA|，
所以|OP|²=|OQ|²+|PQ|²=1+|PA|²，所以a²+b²=1+（a-2）²+（b-1）²，故2a+b-3=0．
（2）由（1）知，P在直线l：2x+y-3=0上，所以|PQ|_min=|PA|_min，为A到直线l的距离，
所以|PQ|_min=

|2×2+1-3|

22+12

=

2 5

5

．
（3）以P为圆心的圆与圆O有公共点，半径最小时为与圆O外切的情形，
而这些半径的最小值为圆O到直线l的距离减去圆O的半径，
圆心P为过原点与l垂直的直线l′与l的交点P₀，所以r=

3

22+12

-1=

3 5

5

-1，
又l′：x-2y=0，与l：2x+y-3=0联立得P₀（

6

5

，

3

5

）．
所以，所求圆的方程为（x-

6

5

）²+（y-

3

5

）²=（

3 5

5

-1）²．

点评：本题主要考查直线和圆、圆和圆的位置关系，点到直线的距离公式，求圆的标准方程，属于中档题．