Question

已知直二面角α-AB-β中，S∈平面α，C∈平面β，∠ACB=90°，SA⊥AB，AD⊥SC于D，
（1）求证：AD⊥平面SBC，
（2）若SA=1，SB=

5

，直线SC与平面β所成角为30°，求直线SC与平面α所成角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由已知条件，先推导出利用直线与平面垂直的判定理，推导出BC⊥面SAC，从而得到AD⊥BC，由此能够证明AD⊥平面SBC．
（2）由已知条件，过点C作CE⊥面α，交AB于点E，则∠CSE是直线SC与平面α所成角，由此能求出直线SC与平面α所成角的正弦值．

解答： 解：（1）直二面角α-AB-β中，S∈平面α，C∈平面β，∠ACB=90°，
∵SA⊥AB，AD⊥SC于D，∴SA⊥β，
∵BC?β，∴BC⊥SA，
∵∠ACB=90°，∴AC⊥BC，
∵SA∩AC=A，∴BC⊥面SAC，
∵AD?面SAC，∴AD⊥BC，
∵AD⊥SC于D，BC∩SC=C，
∴AD⊥平面SBC．
（2）过点C作CE⊥面α，
∵α-AB-β是直二面角，∴E∈AB，
连结SE，则∠CSE是直线SC与平面α所成角，
∵SA=1，SB=

5

，SA⊥β，∠ACB=90°，
∴AB=

5-1

=2，
∵直线SC与平面β所成角为30°，
∴SC=2SA=2，
∴AC=

22-12

=

3

，
∴BC=

22-( 3 )2

=1，
∵S_△ABC=

1

2

•AC•BC=

1

2

•AB•CE
∴CE=

AC•BC

AB

=

3

2

，
∴sin∠CSE=

SE

SC

=

2 2

2

=

2

4

，
∴直线SC与平面α所成角的正弦值为

2

4

．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要合理地化空间问题为平面问题．