Question

解答题：要求写出文字说明、证明过程和演算步骤

已知椭圆C的方程为＋＝1，点P(，1)是椭圆内的定点，过点P的直线l与椭圆C交于A、B两点，点Q为线段AB的中点，求

　　

(Ⅰ)点Q的轨迹方程；

(Ⅱ)点Q的轨迹与坐标轴的交点为顶点的多边形的外接圆方程．

Answer 1

答案：
解析：

(1)设点A、B的坐标分别为A()，B()，点Q的坐标为Q(x，y)，当≠时，设直线L的斜率为K，则L的方程为y＝k(x－)＋1 由已知，＝1…………………① ＝k()＋1，＝k()＋1………② 由①得：＝0……③ 由②得：)－k＋2……………………④ 由③、④及， 得点Q的坐标满足方程－x－y＝0………⑤ 当时，直线l平行y轴，因此AB的中点Q一定落在x轴上，即Q的坐标为(，0)，显然点Q的坐标满足方程⑤ 综上所述，点Q的轨迹方程为－x－y＝0 (2)由解得上述轨迹即曲线l与y轴交于点(0，0)，(0，1) 由解得曲线L与x轴交于点(0，0)，(，0) 由三点(0，0)，(0，1)，(，0)为顶点的多边形为直角三角形，其外接圆的圆心为斜边的中点()， 半径γ＝ ∴外接圆的方程为＋＝