Question

无穷等比数列{a_n}的各项和为

3

4

，则其首项a₁的取值范围

 

．

Answer 1

考点：等比数列的通项公式

专题：等差数列与等比数列

分析：依题意知|q|＜1且q≠0，由

lim

n→∞

a1(1-qn)

1-q

=

a1

1-q

和题意，求出公比q的表达式，再由公比的范围列出不等式组，可求得a₁的取值范围．

解答： 解：依题意知，等比数列的公比满足|q|＜1且q≠0，
所以S_n=

a1(1-qn)

1-q

，则

lim

n→∞

a1(1-qn)

1-q

=

a1

1-q

，
所以

a1

1-q

=

3

4

，解得q=1-

4a1

3

，
所以

-1＜1- 4a1 3 ＜1 1- 4a1 3 ≠0

，解得a₁∈(0，

3

4

)∪(

3

4

，

3

2

)，
故答案为：(0，

3

4

)∪(

3

4

，

3

2

)．

点评：本题考查数列的求和与数列的极限，求得q是解题的关键，考查转化思想与运算能力，属于中档题．