Question

已知双曲线的中心在原点，以两条坐标轴为对称轴，离心率是，两准线间的距离大于，且双曲线上动点P到A（2，0）的最近距离为1。

（Ⅰ）求证：该双曲线的焦点不在y轴上；

（Ⅱ）求双曲线的方程；

（Ⅲ）如果斜率为k的直线L过点M（0，3），与该双曲线交于A、B两点，若，试用l表示k²,并求当时，k的取值范围。

Answer 1

证明（Ⅰ）：设双曲线的实轴长为2a，虚轴长为2b，焦距为2c，

由，得c=a，a=b，

∴双曲线的渐近线方程为y=±x。

若双曲线的焦点在y轴上，则双曲线上任一点到点A（2，0）的距离大于点A到渐近线的距离，而点A到渐近线的距离d=>1,这与“双曲线上动点P到A（2，0）的最近距离为1”矛盾。所以双曲线的焦点不在y轴上。

解（Ⅱ）：由（Ⅰ）知，双曲线的焦点在x轴上，

设双曲线的方程为x²-y²=a²，P（x₀,y₀），则，

|PA|²===,

a>1.当点P到A的距离最小时，x₀³a，又由得a>1，

所以，当x₀=a时，|PA|²有最小值，即2(a-1)²+2-a²=(a-2)²=1,

∴a=3，所以,双曲线的方程为x²-y²=9

解（Ⅲ）：设直线l的方程为y=kx+3,A（x₁,y₁）,B(x₂,y₂)

∵,

∴(-x₁,3-y₁)=l(x₂,y₂-3) , ∴x₁=-lx₂（x₁x₂<0）    ①,

由消去y得，（1-k²）x²-6kx-18=0，

x₁+x₂=     ②，    x₁x₂=<0     ③

将①分别代入②、③得，（1-l）x₂=      ④  lx₂²=    ⑤

④²¸⑤并整理得， (l>0)

令f(l)=,则

令，得l=1；令，得0<l<1；令，得l>1

当时，,，，∴

∴，∴