Question

（2012•昌平区一模）已知数列{a_n}满足a₁=1，点（a_n，a_n+1）在直线y=2x+1上．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足b1=a1，

bn

an

=

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an-1

(n≥2，n∈N*)，求b_n+1a_n-（b_n+1）a_n+1的值；
（3）对于（2）中的数列{b_n}，求证：(1+b1)(1+b2)…(1+bn)＜

10

3

b1b2…bn（n∈N^*）．

Answer 1

分析：（1）利用点（a_n，a_n+1）在直线y=2x+1上，可得a_n+1+1=2（a_n+1），从而可得{a_n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，由此可求数列的通项公式；
（2）确定

bn+1

an+1

=

bn

an

+

1

an

，即可求b_n+1a_n-（b_n+1）a_n+1的值；
（3）由（2）可知，

bn+1

bn+1

=

an

an+1

（n≥2），b₂=a₂，证明(1+

1

b1

)(1+

1

b2

)…(1+

1

bn

)＜

10

3

即可．

解答：（1）解：∵点（a_n，a_n+1）在直线y=2x+1上，
∴a_n+1+1=2（a_n+1）
∴{a_n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列
∴a_n=2ⁿ-1；
（2）解：

bn

an

=

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an-1

(n≥2，n∈N*)
∴

bn+1

an+1

=

bn

an

+

1

an

∴b_n+1a_n-（b_n+1）a_n+1=0
n=1时，b₂a₁-（b₁+1）a₂=-3；
（3）证明：由（2）可知，

bn+1

bn+1

=

an

an+1

（n≥2），b₂=a₂
∴(1+

1

b1

)(1+

1

b2

)…(1+

1

bn

)=

1

b1

•

b1+1

b2

•

b2+1

b3

•…

bn+1

bn+1

•bn+1
=

1

b1

•

b1+1

b2

•

a2

a3

•

a3

a4

•…

an

an+1

•bn+1=2

bn+1

an+1

=2（

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

）
∵k≥2时，

1

2k-1

=2(

1

2k-1

-

1

2k+1-1

)
∴

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

=1+

1

3

+…+

1

2n-1

＜1+2[（

1

22-1

-

1

23-1

）+…+（

1

2n-1

-

1

2n+1-1

）]=1+2（

1

3

-

1

2n+1-1

）＜

5

3

∴(1+

1

b1

)(1+

1

b2

)…(1+

1

bn

)＜

10

3

∴(1+b1)(1+b2)…(1+bn)＜

10

3

b1b2…bn．

点评：本题考查数列的通项，考查不等式的证明．考查学生分析解决问题的能力，考查裂项求和法，综合性强．