Question

【题目】已知定义在R上的奇函数f（x）和偶函数g（x）满足f（x）=2g（x）+ ，若f（ ）+f（cos2θ）＜f（π）﹣f（ ），则θ的取值范围是（ ）
A.（2kπ+ ，2kπ+ ），k∈Z
B.（2kπ﹣ ，2kπ）∪（2kπ，2kπ+π）∪（2kπ+π，2kπ+ π），k∈Z
C.（2kπ﹣ ，2kπ﹣ ），k∈Z
D.（2kπ﹣ ，2kπ﹣π）∪（2kπ﹣π，2kπ）∪（2kπ，2kπ+ ），k∈Z

Answer 1

【答案】C
【解析】解：由题意，﹣f（x）=2g（x）+ ，f（x）=2g（x）+ ， ∴f（x）= ，∴f（ ）= ，
又f′（x）= ，∴函数f（x）在（﹣1，1）上单调递增，（﹣∞，﹣1），（1，+∞）上单调递减
∵f（ ）+f（cos2θ）＜f（π）﹣f（ ），
∴f（ ）+f（cos2θ）＜0，
∴f（sinθ）＜f（﹣cos2θ），且sinθ≠0
∴sinθ＜﹣cos2θ，且sinθ≠0
∴2sin2θ﹣sinθ﹣1＞0，且sinθ≠0
∴sinθ＜﹣ ，且sinθ≠0，
∴θ∈（2kπ﹣ ，2kπ﹣ ），k∈Z，
故选C．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数奇偶性的性质的相关知识，掌握在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇．