Question

摆放在桌面上的三个半径为1的球两两相切，在桌面与三球之间的空间中再摆入一个小球与三球和桌面都相切，求小球的半径．

Answer 1

分析：由已知中摆放在桌面上的三个半径为1的球两两相切，在桌面与三球之间的空间中再摆入一个小球与三球和桌面都相切，我们可以分别设三个半径为1的球的球心分别为O₁，O₂，O₃，与桌面三个切点分别为A，B，C，构造一个正三棱柱，然后解三角形，即可得到答案．

解答：解：设三个半径为1的球的球心分别为O₁，O₂，O₃，
与桌面三个切点分别为A，B，C，如下图所示：

则三棱柱ABC-O₁O₂O₃，是一个底面边长为2，高为1的正三棱柱，
则小球球心O在底面ABC上的投影必为△ABC的中心H，
设小球半径为R，
在△AOH中，
AO=R+1，AH=

2 3

3

则OH=

(R+1)2-( 2 3 3 )2

又∵R+OH=1
解得R=

1

3

点评：本题考查的知识点是棱柱的结构特征，其中标出关键点，构造正三棱柱是解答本题的关键．