Question

（2011•江苏二模）在△ABC中，AC=5，AD为∠BAC的角平分线，D在BC上，且DC=4

2

，cos∠DAC=

3

5

，
（1）求AD长；
（2）求cosB的值．

Answer 1

分析：（1）设出AD长，通过余弦定理，求出AD；
（2）通过cos∠DAC=

3

5

，结合正弦定理求出sin∠ADC，利用两角差的余弦函数求出cosB的值．

解答：解：（1）设AD=x，由余弦定理可知：32=x²+25-2×x×5×

3

5

，
即x²-6x-7=0，
解得：x=7或x=-1，
则AD=7．
（2）在△ADC中，由cos∠DAC=

3

5

，得sin∠DAC=sin∠DAB=

4

5

，

5

sin∠ADC

=

4 2

4 5

，
sin∠ADC=

2

2

，
∵AD＞AC，∴∠ADC为锐角，∠ADC=

π

4

，∠ADB=

3π

4

，
∴cosB=cos（π-

3π

4

-∠BAD）=cos（

π

4

-∠BDA）
=

2

2

•

3

5

+

2

2

•

4

5

=

7 2

10

．

点评：本题考查三角形的求法，考查余弦定理的应用，两角差的余弦函数的应用，考查计算能力．