Question

17．已知{a_n}是正数组成的数列，a₁=1，且点（$\sqrt{{a}_{n}}$，a_n+1）（n∈N*）在函数y=x²+1的图象上．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令{b_n}满足b_n=a_n•xⁿ（x≠0且x≠1），求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）由题设条件知a_n+1=a_n+1，所以a_n=n；
（2）用错位相减法求解．

解答 解：（1）点（$\sqrt{{a}_{n}}$，a_n+1）（n∈N*）在函数y=x²+1
所以a_n+1=a_n+1
根据等差数列的定义：{a_n}是首项为1，公差为1的等差数列
所以a_n=n；
（2）由已知b_n=xⁿa_n=nxⁿ
S_n=b₁+b₂+b₃++b_n-1+b_n
=1×x¹+2×x²+3×x³+…+（n-1）×x^n-1+n×xⁿ①
xS_n=1×x²+2×x³+3×x⁴+…+（n-1）×xⁿ+n×xⁿ⁺¹②
①-②得（1-x）S_n=x+x²+x³+x⁴+…+×xⁿ-n×xⁿ⁺¹=$\frac{x（1+{x}^{n}）}{1-x}$-n×xⁿ⁺¹，
S_n=$\frac{x（1+{x}^{n}）}{（1-x）^{2}}$-$\frac{n{x}^{n+1}}{1-x}$．

点评 本题考查数列的概念和性质及其应用，解题时要注意公式的灵活运用．