Question

如图，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AD=1，AB=2，点E是C₁D₁的中点．
（1）求证：DE⊥平面BCE；
（2）求二面角A-EB-C的大小．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法能证明DE⊥平面BCE．
（2）求出平面AEB的法向量和平面BCE的法向量，利用向量法能求出二面角A-EB-C的大小．

解答： （1）证明：建立如图所示的空间直角坐标系，
则D（0，0，0），E（0，1，1），
B（1，2，3），C（0，2，0），
∴

DE

=（0，1，1），

BE

=（-1，-1，1），

BC

=（-1，0，0），
∵

DE

•

BE

=0，

DE

•

BC

=0，
∴DE⊥BE，DE⊥BC，
∵BE?平面BCE，BC?平面BCE，BE∩BC=B，
∴DE⊥平面BCE．
（2）解：设平面AEB的法向量

n

=（x，y，z），
则

n • AB =y=0 n • BE =-x-y+z=0

，
取x=1，得

n

=（1，0，1），
∵DE⊥平面BCE，∴

DE

=（0，1，1）是平面BCE的法向量，
∵cos＜

n

，

DE

＞=

n • DE

| n |•| DE |

=

1

2

，
∴二面角A-EB-C的大小为120°．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的大小的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．