Question

某汽车制造厂有一条价值为60万元的汽车生产线，现要通过技术改造来提高其生产能力，进而提高产品的增加值．已知投入x万元用于技术改造，所获得的产品的增加值为（60-x）x²万元，并且技改投入比率

x

60-x

∈（0，5]．
（1）求技改投入x的取值范围；
（2）当技改投入多少万元时，所获得的产品的增加值为最大，其最大值为多少万元？

Answer 1

考点：分段函数的应用,函数模型的选择与应用

专题：应用题,导数的概念及应用

分析：（1）利用

x

60-x

∈（0，5]，x＞0，即可确定技改投入x的取值范围；
（2）求导函数，确定函数的单调性，即可求出产品增加值的最大值及相应x的值．

解答： 解：（1）由题意，

x

60-x

∈（0，5]，x＞0，
∴0＜x≤50，
∴技改投入x的取值范围是（0，50]；
（2）设f（x）=（60-x）x²，x∈（0，50]，则f′（x）=-3x（x-40），
0＜x＜40时，f′（x）＞0；40＜x≤50时，f′（x）＜0，
∴x=40时，函数取得极大值，也是最大值3200万元．

点评：本题的考点是根据实际问题选择函数类型，主要考查函数模型的构建，考查学生利用数学知识解决实际问题的能力，属于中档题．