Question

已知函数，g（x）=x+ax³，a为常数．
（1）求函数f（x）的定义域M；
（2）若a=0时，对于x∈M，比较f（x）与g（x）的大小；
（3）讨论方程f（x）=g（x）解的个数．

Answer 1

解：（1）由，得：-1＜x＜1，∴函数f（x）的定义域M=（-1，1）． …（3分）
（2）令h（x）=f（x）-g（x），则a=0时，h（x）=．
又=（仅在x=0时，h'（x）=0）
∴h（x）在M=（-1，1）内是增函数，…（6分）∴当-1＜x＜0时，h（x）＜h（0）=0，f（x）＜g（x）；
当x=0时，h（x）=h（0）=0，f（x）=g（x）；当0＜x＜1时，h（x）＞h（0）=0，f（x）＞g（x）． …（8分）
（3）讨论方程f（x）=g（x）解的个数，即讨论h（x）=f（x）-g（x）零点的个数．
因为h（x）=，所以=
①当a＜0时，，x²＜1，所以h'（x）═（仅在x=0时，h'（x）=0）h（x）在M=（-1，1）内是增函数，
又h（0）=0，所以h（x）有唯一零点； …（9分）
②当a=0时，由（2）知h（x）有唯一零点； …（10分）
③当时，，0≤x²＜1h'（x）═（仅在x=0时，h'（x）=0）
所以h（x）在M=（-1，1）内是增函数，又h（0）=0，所以h（x）有唯一零点； …（11分）
④当时，，h'（x）=，或时，h'（x）＞0，h（x）递增，时，h'（x）＜0，h（x）递减．，；
x→-1⁺时，h（x）→-∞； x→1^-时，h（x）→+∞，
∴h（x）在区间，及内各有一个零点．
…（13分）
综上，当时，方程f（x）=g（x）有唯一解；
当时，方程f（x）=g（x）有三个解． …（14分）
分析：（1）由题意，真数大于0，可得不等式，从而确定函数f（x）的定义域M；
（2）a=0时，h（x）=．求导函数可知h（x）在M=（-1，1）内是增函数，从而可解；
（3）讨论方程f（x）=g（x）解的个数，即讨论h（x）=f（x）-g（x）零点的个数．由于=，故对a进行讨论，从而确定函数的零点．
点评：本题主要考查函数的定义域，考查利用单调性比较大小，利用导数研究函数零点问题，有一定的难度．