Question

在直角坐标系xOy中，长为的线段的两端点C、D分别在x轴、y轴上滑动，．记点P的轨迹为曲线E．
（I）求曲线E的方程；
（II）经过点（0，1）作直线l与曲线E相交于A、B两点，，当点M在曲线E上时，求的值．

Answer 1

解：（Ⅰ）设C（m，0），D（0，n），P（x，y）．
由，得（x-m，y）=（-x，n-y），
∴x-m=-x，y=（n-y），
由|CD|=+1，得m²+n²=（+1）²，
∴（+1）²x²+=（+1）²，
整理，得曲线E的方程为x²+=1
（II）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由知点M坐标为（x₁+x₂，y₁+y₂）．
设直线l的方程为y=kx+1，代入曲线E方程，得（k²+2）x²+2kx-1=0，
则x₁+x₂=-，x₁x₂=-，
y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2=，
由点M在曲线E上，知（x₁+x₂）²+=1，
即（-）²+=1
解得k²=2．
∴x₁x₂+y₁y₂=（1+k²）x₁x₂+k（）+1=-
∴=-．
分析：（Ⅰ）设C、D、P的坐标，利用，确定坐标之间的关系，由|CD|=+1，得m²+n²=（+1）²，从而可得曲线E的方程；
（II）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由知点M坐标为（x₁+x₂，y₁+y₂）．设直线l的方程为y=kx+1，代入曲线E方程，利用韦达定理及点M在曲线E上，求得k²=2，再利用向量的数量积公式，即可求得结论．
点评：本题考查向量知识的运用，考查轨迹方程，考查直线与曲线的位置关系，正确运用向量，确定坐标之间的关系是关键．