Question

18．已知定义域为R的函数f（x）满足f（f（x）-x²+x）=f（x）-x²+x．
（1）若f（3）=3，求f（-3）的值；
（2）若有且仅有一个实数x₀满足f（x₀）=x₀’且函数$g（x）=\frac{1}{{{4^x}+m•{2^x}+4}}$的定义域为R，
①求实数m的取值范围；           
 ②求f（m）的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据题意，由f（f（x）-x²+x）=f（x）-x²+x，将x=3代入，有f（f（3）-3²+3）=f（3）-3²+3=-3，整理可得f（-3）的值；
（2）①根据题意，由于函数$g（x）=\frac{1}{{{4^x}+m•{2^x}+4}}$的定义域为R，分析可得$-m≠{2^x}+\frac{4}{2^x}，而易知{2^x}+\frac{4}{2^x}≥4$，由基本不等式的性质分析可得答案；
②根据题意，由于有且仅有一个实数x₀满足f（x₀）=x₀成立，分析可得f（x）-x²+x=x₀，分析可得f（x）的解析式，分析其解的情况，可得f（m）=m²-m+1，m∈（-4，+∞），由二次函数的性质分析可得答案．

解答 解：（1）因为f（f（x）-x²+x）=f（x）-x²+x，f（3）=3
所以f（f（3）-3²+3）=f（3）-3²+3，
又由f（3）=3，代入可得f（3-3²+3）=-3，
所以f（-3）=-3，
（2）①因为函数$g（x）=\frac{1}{{{4^x}+m•{2^x}+4}}$的定义域为R，
所以4^x+m•2^x+4≠0对任意实数成立
所以$-m≠{2^x}+\frac{4}{2^x}，而易知{2^x}+\frac{4}{2^x}≥4$
所以-m＜4，所以m＞-4
故m的取值范围是（-4，+∞），
②因为f（f（x）-x²+x）=f（x）-x²+x对x∈R恒成立
又因为有且仅有一个实数x₀满足f（x₀）=x₀
所以对任意x∈R，有f（x）-x²+x=x₀
令$x={x_0}，则f（{x_0}）-{x_0}^2+{x_0}={x_0}$
所以由$f（{x_0}）={x_0}得{x_0}-{x_0}^2=0，故{x_0}=0，或{x_0}=1$，
所以f（x）-x²+x=0或f（x）-x²+x=1
所以f（x）=x²-x或f（x）=x²-x+1
而当f（x）=x²-x时，f（x）=x有两个解，舍去
当f（x）=x²-x+1时，f（x）=x只有一个解，
故f（x）=x²-x+1
所以f（m）=m²-m+1，m∈（-4，+∞）
所以f（m）的取值范围是$[{\frac{3}{4}，+∞}）$．

点评 本题考查函数的解析式、函数的值的计算，关键是理解函数的定义，能准确分析“有且仅有一个实数x₀满足f（x₀）=x₀”的含义．