Question

对于函数f（x），若存在x₀∈R，使得f（x₀）=x₀成立，则称x₀为函数f（x）不动点．已知函数f（x）=ax²+（b-7）x+18有两个不动点分别是-3和2．
（1）求a，b的值及f（x）的表达式；
（2）试求函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值g（t）．

Answer 1

分析：（1）直接利用定义把条件转化为ax²+（b-8）x+18=0的两个根是-3和2，即可求a，b的值及f（x）的表达式；
（2）先对字母t进行分类讨论，再结合二次的单调性即可求函数f（x）的最大值g（t）．

解答：解：（1）∵f（x）=ax²+（b-7）x+18的不动点是-3和2
∴ax²+（b-8）x+18=0的两个根是-3和2
∴

8-b a =-1 18 a =-6

⇒

a=-3 b=5

∴f（x）=-3x²-2x+18…（6分）
（2）①当t≥-

1

3

时，f（x）在[t，t+1]上单调递减，g（t）=-3t²-2t+18
②当t+1≤-

1

3

即t≤-

4

3

时，f（x）在[t，t+1]上单调递增，g（t）=-3t²-8t+13
③当t＜-

1

3

＜t+1即-

4

3

＜t＜-

1

3

时，f（x）在[t，-

1

3

]上单调递增，在[-

1

3

，t+1]递减，
∴g(t)=

55

3

…（12分）
综上可知：g(t)=

-3t2-2t+18(t≥- 1 3 ) 55 3 (- 4 3 ＜t＜- 1 3 ) -3t2-8t+13(t≤- 4 3 )

…（13分）

点评：本题以新定义为载体，考查函数的解析式，考查二次函数在闭区间上的最值问题．