Question

（本题17分）已知定义在上的函数是偶函数，且时，，(1)当时，求解析式；(2)写出的单调递增区间．

 

Answer 1

（1）当时，；(2)的单调递增区间是和．

【解析】

试题分析：（1）任取，则，由时，，得出；利用是偶函数，知，进而求得；

（2）．因为是偶函数，所以只需求出函数在上的单调性，然后根据函数奇偶性与单调性的关系，求出函数在上的单调性，进而求得函数在上的单调性；在判断函数在上的单调性时，可以用复合函数的单调性，也可以用单调性的定义，也可以用导数；本题是用复合函数的单调性解答的．

试题解析：（1）任取，则， 2分

∵当时，，∴， 4分

∵函数是定义在上的偶函数，∴，

∴，∴当时，； 7分

（2）当时，，此时，令，， 9分

则在上是增函数；在上是减函数，在上是增函数，且的值域为； 11分

由复合函数单调性知，当时，的单调递增区间是，单调递减区间是；

∴当时，函数的单调递增区间是，单调递减区间是； 13分

又∵函数是定义在上的偶函数，

∴当时，函数的单调递增区间是，单调递减区间是； 15分

综上可知，函数的单调递增区间是和． 17分

考点：①函数的奇偶性；②函数及复合函数的单调性；③利用函数的奇偶性求解析式；④函数奇偶性与单调性的关系．