Question

8．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，0），B（0，2），△ABO（O为坐标原点）的外接圆记为圆P．
（1）求圆P的方程；
（2）若直线y+1=k（x+1）与圆P有公共点，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意可得△ABO为直角三角形，故它的外接圆的圆心为斜边AB的中点，由此求出圆的圆心和半径，从而得到圆的方程．
（2）直线即kx-y+k-1=0，根据它与圆P有公共点，圆心P到直线的距离小于或等于半径，即 $\frac{|k-1+k-1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$≤$\sqrt{2}$，由此求得k的范围．

解答 解：（1）由题意可得△ABO为直角三角形，故它的外接圆的圆心为斜边AB的中点，
再根据A（2，0），B（0，2），可得圆心P（1，1），半径为$\frac{1}{2}$AB=$\sqrt{2}$，
故圆P的方程为 （x-1）²+（y-1）²=2．
（2）若直线y+1=k（x+1），即kx-y+k-1=0，∵它与圆P有公共点，
故圆心P到直线的距离小于或等于半径，即 $\frac{|k-1+k-1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$≤$\sqrt{2}$，
求得2-$\sqrt{3}$≤k≤2+$\sqrt{3}$，故实数k的取值范围为[2-$\sqrt{3}$，2+$\sqrt{3}$]．

点评 本题主要考查求圆的标准方程，直线和圆相交的性质，属于基础题．