Question

13．给出下列命题：
①已知集合M满足∅?M⊆{1，2，3，4}，且M中至多有一个偶数，这样的集合M有12个；
②已知函数f（x）满足条件：$f（x）+2f（\frac{1}{x}）={log_2}x$，则f（2）等于-1；
③设A、B为非空集合，定义集合A+B={x|x∈A或x∈B且x∉A∩B}，若$P=\{x|y=\sqrt{{x^2}-4x}\}$，Q={y|y=3^x+1}，则P+Q={x|x≤0或1＜x≤4}；
④如果函数y=f（x）的图象关于y轴对称，且f（x）=（x-2015）²+1（x≥0），则当x＜0时，f（x）=（x+2015）²+1；
其中正确的命题的序号是②④（把所有正确的命题序号写在答题卷上）．

Answer 1

分析 列举出满足条件的集合M，可判断①；分别令x=2，x=$\frac{1}{2}$，联立方程组，求出f（2）可判断②；根据集合A+B的定义，可判断③；根据函数奇偶性的性质，可判断④．

解答 解：若集合M满足∅?M⊆{1，2，3，4}，且由M中至多有一个偶数，则满足条件的M有：
{1}，{2}，{3}，{4}，{1，2}，{1，3}，{1，4}，{2，3}，{3，4}，{1，2，3}，{1，3，4}，共11个，故①错误；
已知函数f（x）满足条件：$f（x）+2f（\frac{1}{x}）={log_2}x$，则f（2）+2f（$\frac{1}{2}$）=1，f（$\frac{1}{2}$）+2f（2）=-1，解得：f（2）=-1，故②正确；
若$P=\{x|y=\sqrt{{x^2}-4x}\}$=[0，4]，Q={y|y=3^x+1}=（1，+∞），
则P+Q=[0，1]∪（4，+∞），故③错误；
如果函数y=f（x）的图象关于y轴对称，f（-x）=f（x），
当x＜0时，-x＞0，此时f（x）=f（-x）=（-x-2015）²+1=（x+2015）²+1，故④正确；
故正确的命题的序号是：②④，
故答案为：②④

点评 本题考查的知识点是集合的包含关系，集合的运算，函数求值，函数的奇偶性，是函数和集合的综合应用．