Question

已知抛物线C：y²=2px（p＞0），焦点F到准线的距离为

1

2

，过点A（x₀，0）（x₀≥

1

8

）作直线l交抛物线C于点P，Q（点P在第一象限）．
（Ⅰ）若点A与焦点F重合，且弦长|PQ|=2，求直线l的方程；
（Ⅱ）若点Q关于x轴的对称点为M，直线PM交x轴于点B，且BP⊥BQ，求证：点B的坐标是（-x₀，0），并求点B到直线l的距离d的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）由题意可知，p=

1

2

，故抛物线方程为y²=x，焦点F(

1

4

 ，0)．----（1分）
设直线l的方程为x=ny+

1

4

，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．
由

y2=x       x=ny+ 1 4

消去x，得y2-ny-

1

4

=0．
所以△=n²+1＞0，y₁+y₂=n．------------------------------------（3分）
因为x1=ny1+

1

4

 ， x2=ny2+

1

4

，点A与焦点F重合，
所以|PQ|=x1+

1

4

 +x2+

1

4

=x1 +x2+

1

2

=n(y1 +y2)+1=2．
所以n²=1，即n=±1．---------------------------------------------（5分）
所以直线l的方程为x-y-

1

4

=0或x+y-

1

4

=0，
即4x-4y-1=0或4x+4y-1=0．-----------------------------------（6分）
（Ⅱ）证明：设直线l的方程为x=my+x₀（m≠0），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则M（x₂，-y₂）．
由

y2=x         x=my+x0

消去x，得y²-my-x₀=0，
因为x0≥

1

8

，所以△=m²+4x₀＞0，y₁+y₂=m，y₁y₂=-x₀．-----------------------（7分）
方法一：
设B（x_B，0），则

BM

=(x2-xB ， -y2) ， 

BP

=(x1-xB ， y1)．
由题意知，

BM

∥ 

BP

，所以x₂y₁-y₁x_B=-x₁y₂+x_By₂，
即(y1+y2)xB=x1y2+x2y1=

y

21

y2+

y

22

y1=(y1+y2)•y1y2．
显然y₁+y₂=m≠0，所以x_B=y₁y₂=-x₀，即证B（-x₀，0）．--------------------------（9分）
由题意知，△MBQ为等腰直角三角形，所以k_PB=1，即

y1+y2

x1-x2

=1，也即

y1+y2

y 21 - y 22

=1，
所以y₁-y₂=1，所以(y1+y2)2-4y1y2=1，
即m²+4x₀=1，所以m²=1-4x₀＞0，即x0＜

1

4

又因为x0≥

1

8

，所以

1

8

≤x0＜

1

4

．-----------------------------------------（12分）d=

2x0

m2+1

=

2x0

2-4x0

=

2

( 1 x0 )2-2( 1 x0 )

=

2

( 1 x0 -1)2-1

∈[

6

12

 ， 

1

2

)，
所以d的取值范围是[

6

12

 ， 

1

2

)．---------------------------------（15分）
方法二：
因为直线l ： y-y1=

y1+y2

x1-x2

(x-x1)，
所以令y=0，则x=x1-

y1(x1-x2)

y1+y2

=x1-

y1( y 21 - y 22 )

y1+y2

=x1-

y

21

+y1y2=-x0，
所以B（-x₀，0）．--------------------------------------------------（9分）
由题意知，△MBQ为等腰直角三角形，所以k_PB=1，即

y1+y2

x1-x2

=1，
所以y₁-y₂=1，所以(y1+y2)2-4y1y2=1，即m²+4x₀=1，所以m²=1-4x₀＞0．
因为x0≥

1

8

，所以0＜m2≤

1

2

．--------------------------------------（12分）

d= 2x0 m2+1 = 1-m2 2 m2+1 = 1 2 (1-m2)2 m2+1 = 1 2 (m2+1-2)2 m2+1    = 1 2 m2+1+ 4 m2+1 -4 ∈[ 6 12  ，  1 2 )

所以d的取值范围是[

6

12

 ， 

1

2

)．-----------------------------------（15分）