Question

已知偶函数f（x）的定义域为{x|x≠0，x∈R}，若f（x）在（-∞，0）上为单调减函数，且f（-2）=0，则不等式x•f（x）＜0解集为

 

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Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合

专题：函数的性质及应用

分析：由题意可得 f （2）=0，且在（0，+∞）上单调递增，故当x＜-2或x＞2 时，f（x）＞0，当-2＜x＜2时，f（x）＜0．由此易求得x•f（x）＜0的解集．

解答： 解：∵函数f（x）是偶函数，在区间（-∞，0）上单调递减，且f （-2）=0，
∴f （2）=0，且在（0，+∞）上单调递增．
故当x＜-2或x＞2 时，f（x）＞0，
当-2＜x＜0或0＜x＜2时，f（x）＜0．
由不等式x•f（x）＜0可得x与f（x）异号．
∴x•f（x）＜0的解集为 （-∞，-2）∪（0，2）．
故答案为：（-∞，-2）∪（0，2）．

点评：本题主要考查函数的单调性和奇偶性的综合应用，体现了转化的数学思想，判断出当x＜-2或x＞2 时，f（x）＞0，当-2＜x＜2时，f（x）＜0，是解题的关键．