Question

已知数列{a_n}中，a₁=3，a₂=5，其前n项和S_n满足S_n+S_n-2=2S_n-1+2^n-1（n≥3）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ） 若b_n=log₂（

256

a2n-1

）n∈N^*，设数列{b_n}的前n的和为S_n，当n为何值时，S_n有最大值，并求最大值．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由S_n-S_n-1=S_n-1-S_n-2+2^n-1（n≥3）得a_n=a_n-1+2^n-1（n≥3），利用累加法及等比数列求和公式即可求得结论；
（Ⅱ）由b_n=log₂（

256

a2n-1

）n∈N^*得bn=log2(

256

a2n-1

)=log2

28

22n

=log228-2n=8-2n（n∈N^*），判断b_n的符号即可得出结论．

解答： 解：（Ⅰ）由题意知S_n-S_n-1=S_n-1-S_n-2+2^n-1（n≥3），
即a_n=a_n-1+2^n-1（n≥3）…（3分）
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₃-a₂）+a₂=2^n-1+2^n-2+…+2²+5…（5分）
=2^n-1+2^n-2+…+2²+2+1+2=2ⁿ+1（n≥3），…（7分）
检验知n=1，2时，结论也成立，故a_n=2ⁿ+1．…（8分）
（Ⅱ） 由bn=log2(

256

a2n-1

)=log2

28

22n

=log228-2n=8-2n（n∈N^*）…（10分）
当1≤n≤3时，b_n=8-2n＞0；当n=4时，b_n=8-2n=0；当n≥5时，b_n=8-2n＜0…（12分）
故n=3或n=4时，S_n达最大值，S₃=S₄=12．…（14分）

点评：本题主要考查利用累加法求数列的通项公式及等差数列前n项和最值的求法等知识，属中档题．