Question

【题目】某农场预算用5600元购买单价为50元（每吨）的钾肥和20元（每吨）的氮肥，希望使两种肥料的总数量（吨）尽可能的多，但氮肥数不少于钾肥数，且不多于钾肥数的1.5倍．
（Ⅰ）设买钾肥x吨，买氮肥y吨，按题意列出约束条件、画出可行域，并求钾肥、氮肥各买多少才行？
（Ⅱ）已知A（10，0），O是坐标原点，P（x，y）在（Ⅰ）中的可行域内，求 的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）设肥料总数为z，z=x+y，
由题意得约束条件 ，即
画出可行域（如图）
目标函数：z=x+y，即y=﹣x+z，
表示斜率为﹣1，y轴上截距为z的平行直线系．
当直线过点N时，z最大．
联立方程 ，解得N（70，105）
此时zmax=x+y=70+105=175．
∴购买钾肥70吨，氮肥105吨时，两种肥料的总数量最大为175吨
（Ⅱ） ， ，θ为 的夹角，∴s=10cosθ．有图可知：
当点P在线段OM时，cosθ最大为 ，此时s最大值为 ；
当点P在线段ON时，cosθ最小为 ，此时s最小值为 ．
∴
另解： ， ，
代入可得
【解析】（Ⅰ）设肥料总数为z，z=x+y，列出约束条件，画出可行域，利用目标函数的几何意义求解最值．（Ⅱ）利用向量的数量积，化简目标函数，通过可行域，判断s的最值即可．另解转化目标函数为直线的斜率，求解即可．