Question

【题目】设数列{an}的前n项和为Sn ， 2Sn=an+1﹣2n+1+1，n∈N* ， 且a1 ， a2+5，a3成等差数列．
（1）求a1
（2）证明 为等比数列，并求数列{an}的通项；
（3）设bn=log3（an+2n），且Tn= ，证明Tn＜1．

Answer 1

【答案】
（1）解：在 中

令n=1，得 ，即a2=2a1+3，①

令n=2，得 ，即a3=6a1+13，②

又2（a2+5）=a1+a3，③

则由①②③解得a1=1

（2）证明：当n≥2时，由 ，

得到 ，

则 …．

由（1）得a2=5，则 ，

∴ 是以 为首项， 为公比的等比数列，

∴ ，

解得

（3）解：∵ ，则

则

=

∴Tn＜1

【解析】（1）令n=1，得a2=2a1+3，令n=2，得a3=6a1+13，再由2（a2+5）=a1+a3 ， 能求出a1的值．（2）当n≥2时，推导出 ，从而 ，由此能证明 是以 为首项， 为公比的等比数列，从而能求出数列{an}的通项．（3）推导出 ，由此利用裂项求和法能证明Tn＜1．
【考点精析】解答此题的关键在于理解等比数列的通项公式（及其变式）的相关知识，掌握通项公式：．