【题目】如图,在正四棱柱中,
,
,建立如图所示的空间直角坐标系
.
(1)若,求异面直线
与
所成角的大小;
(2)若,求直线
与平面
所成角的正弦值;
(3)若二面角的大小为
,求实数
的值.
【答案】(1)异面直线与
所成角为
;(2)
与平面
所成角的正弦值为
;(3)二面角
的大小为
,
的值为
.
【解析】分析:(1)由题意可得和
的坐标,可得夹角的余弦值;
(2)求出平面的法向量,即可求出答案;
(3)设,表示出平面
的法向量和平面
的法向量,利用二面角
的大小为
,即可求出t.
详解:(1)当时,
,,
,
,
,
则,
,
故,
所以异面直线与
所成角为
.
(2)当时,
,
,
,
,
,
则,
,
设平面的法向量
,
则由得,
不妨取,则
, 此时
,
设与平面
所成角为
,因为
,
则,
所以与平面
所成角的正弦值为
.
(3)由得,
,
,
设平面的法向量
,
则由得,
不妨取,则
, 此时
,
又平面的法向量
,
故,解得
,
由图形得二面角大于
,所以符合题意.
所以二面角的大小为
,
的值为
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,三个警亭有直道相通,已知
在
的正北方向6千米处,
在
的正东方向
千米处.
(1)警员甲从出发,沿
行至点
处,此时
,求
的距离;
(2)警员甲从出发沿
前往
,警员乙从
出发沿
前往
,两人同时出发,甲的速度为3千米/小时,乙的速度为6千米/小时.两人通过专用对讲机保持联系,乙到达
后原地等待,直到甲到达
时任务结束.若对讲机的有效通话距离不超过9千米,试问两人通过对讲机能保持联系的总时长?
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】为了巩固全国文明城市创建成果,今年吉安市开展了拆除违章搭建铁皮棚专项整治行为.为了了解市民对此项工作的“支持”与“反对”态度,随机从存在违章搭建的户主中抽取了男性、女性共名进行调查,调查结果如下:
支持 | 反对 | 合计 | |
男性 | |||
女性 | |||
合计 |
(1)根据以上数据,判断是否有的把握认为对此项工作的“支持”与“反对”态度与“性别”有关;
(2)现从参与调查的女户主中按此项工作的“支持”与“反对”态度用分层抽样的方法抽取人,从抽取的
人中再随机地抽取
人赠送小礼品,记这
人中持“支持”态度的有
人,求
的分布列与数学期望.
参考公式:,其中
.
参考数据:
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】 某汽车租赁公司为了调查A, B两种车型的出租情况,现随机抽取这两种车型各50辆,分别统计了每辆车在某个星期内的出租天数,统计数据如下表:
A型车
出租天数 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
车辆数 | 3 | 30 | 5 | 7 | 5 |
B型车
出租天数 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
车辆数 | 10 | 10 | 15 | 10 | 5 |
(1)试根据上面的统计数据,判断这两种车型在本星期内出租天数的方差的大小关系(只需写出结果);
(2)现从出租天数为3天的汽车(仅限A, B两种车型)中随机抽取一辆,试估计这辆汽车是A型车的概率;
(3)如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同,该公司需要购买一辆汽车,请你根据所学的统计知识,给出建议应该购买哪一种车型,并说明你的理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知抛物线:
(
)的焦点为
,抛物线上存在一点
到焦点的距离为3,且点
在圆
:
上.
(Ⅰ)求抛物线的方程;
(Ⅱ)已知椭圆:
(
)的一个焦点与抛物线
的焦点重合,且离心率为
.直线
:
交椭圆
于
,
两个不同的点,若原点
在以线段
为直径的圆的外部,求实数
的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】随着人们经济收入的不断增长,个人购买家庭轿车已不再是一种时尚.车的使用费用,尤其是随着使用年限的增多,所支出的费用到底会增长多少,一直是购车一族非常关心的问题.某汽车销售公司做了一次抽样调查,并统计得出某款车的使用年限(单位:年)与所支出的总费用
(单位:万元)有如下的数据资料:
使用年限 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
总费用 | 2.2 | 3.8 | 5.5 | 6.5 | 7.0 |
若由资料知对
呈线性相关关系.
线性回归方程系数公式:,
.
(1)试求线性回归方程的回归系数
,
;
(2)当使用年限为10年时,估计车的使用总费用.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为正方形,PA⊥底面ABCD,AD=AP,E为棱PD中点.
(1)求证:PD⊥平面ABE;
(2)若F为AB中点, ,试确定λ的值,使二面角P﹣FM﹣B的余弦值为-
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知等差数列的前n项和为
,
,
,数列
满足:
,
,
,数列
的前n项和为
(1)求数列的通项公式及前n项和;
(2)求数列的通项公式及前n项和;
(3)记集合,若M的子集个数为16,求实数
的取值范围.
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