Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，ABCD是平行四边形，M，N，Q分别PB，PC，AB的中点．
求证：（1）MN∥平面PAD；
（2）QN∥平面PAD．

Answer 1

证明：（1）∵M、N分别是PB、PC的中点，
∴MN∥BC，（2分）

又∵AD∥BC，∴MN∥AD，（4分）
又∵AD?平面PAD，
∴MN∥平面PAD；（6分）
（2）连接MQ，如下图所示：

∵M、Q分别是PB、AB的中点，
∴MQ∥PA，（8分）
又∵MN∩MQ=M，
∴平面MNQ∥平面PAD，（10分）
又∵QN?平面MNQ，
∴QN∥平面PAD；（12分）
分析：（1）由已知中M，N分别为PB，PC的中点，根据三角形中位线定理，可得MN∥BC，进而由线面平行的性质得到MN∥平面PAD；
（2）连接MQ，由（1）中结论MN∥平面PAD，同理可证明出QM∥平面PAD，进而由面面平行的判定定理得到平面MNQ∥平面PAD（利用面面平行的第二判定定理，也可以实现），进而由面面平行的性质得到QN∥平面PAD．
点评：本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，平面与平面平行的性质，其中判断线面平行最常用的两种方法，就是根据线面平行的判定定理（如（1）中证明过程）和面面平行的性质定理（如（2）中证明过程）．