Question

9．已知在同一平面上的三个单位向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b，\overrightarrow c$，它们相互之间的夹角均为120°，且$|{k\overrightarrow a+2\overrightarrow b+\overrightarrow c}|-m＞0$恒成立，则实数m的取值范围是-$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜$m＜\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．

Answer 1

分析 利用在同一平面上的三个单位向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b，\overrightarrow c$，它们相互之间的夹角均为120°，且$|{k\overrightarrow a+2\overrightarrow b+\overrightarrow c}|-m＞0$恒成立，k²-3k+3-m²＞0恒成立，结合根的判别式，即可得出结论．

解答 解：∵在同一平面上的三个单位向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b，\overrightarrow c$，它们相互之间的夹角均为120°，且$|{k\overrightarrow a+2\overrightarrow b+\overrightarrow c}|-m＞0$恒成立
∴k²+4+1-2k-k-2＞m²恒成立，
∴k²-3k+3-m²＞0恒成立，
∴△=9-4（3-m²）＜0
∴-$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜$m＜\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
故答案为-$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜$m＜\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．

点评 本题主要考查两个向量的数量积的运算，求向量的模，属于中档题．