Question

设函数f(x)=sin2x+

3

sinxcosx，x∈R
（1）求函数f（x）的最小正周期，并求f（x）在区间[-

π

4

，

π

6

]上的最小值；
（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，A为锐角，若f(A)+f(-A)=

3

2

，b+c=7，△ABC的面积为2

3

，求a．

Answer 1

分析：（1）函数解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式即可求出函数f（x）的最小正周期；由x的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的图象求出f（x）的最小值即可；
（2）根据f（A）+f（-A）=

3

2

，由第一问确定的函数解析式求出cos2A的值，利用二倍角的余弦函数公式求出sinA的值，利用三角形面积公式表示出三角形ABC的面积，将sinA与已知面积代入求出bc的值，再由余弦定理列出关系式，将bc的值与b+c的值，以及cosA的值代入计算即可求出a的值．

解答：解：（1）f（x）=sin²x+

3

sinxcosx=

1-cos2x

2

+

3

2

sin2x=

1

2

+sin（2x-

π

6

），
∵ω=2，∴函数f（x）的最小正周期T=π；
∵x∈[-

π

4

，

π

6

]，∴2x-

π

6

∈[-

2π

3

，

π

6

]，
则当2x-

π

6

=-

π

2

时，函数f（x）在区间[-

π

4

，

π

6

]上的最小值为-

1

2

；
（2）由f（A）+f（-A）=

3

2

得：1-sin（2A+

π

6

）+sin（2A-

π

6

）=

3

2

，
化简得：cos2A=-

1

2

，
又∵0＜A＜

π

2

，∴sin²A=

1-cos2A

2

=

3

4

，即sinA=

3

2

，cosA=

1

2

，
由题意知：S_△ABC=

1

2

bcsinA=

3

4

bc=2

3

，
解得：bc=8，
又b+c=7，
由余弦定理：a²=b²+c²-2bccosA=（b+c）²-2bc（1+cosA）=25，
∴a=5．

点评：此题考查了余弦定理，以及三角函数的恒等变换，涉及的知识有：三角函数的周期性及其求法，正弦函数的定义域与值域，二倍角的正弦、余弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．