Question

已知命题p：?x∈R，cos2x+sinx+a≥0，命题q：?x∈R，ax²-2x+a＜0，命题p∨q为真，命题p∧q为假．求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：通过分离参数求函数的最大值化简命题p；通过对二次项系数的讨论求出a的范围化简命题q；
据复合命题的真假得出命题p，q的真假，求出a的范围．

解答：解：由命题p得a≥-cos2x-sinx=2sin2x-sinx-1=2(sinx-

1

4

)2-

9

8

，
因为sinx∈[-1，1]，
所以当sinx=-1时，（2sin²x-sinx-1）_max=2，
所以命题p：a≥2
由命题q得：当a≤0时显然成立；
当a＞0时，需满足△=4-4a²＞0，解得0＜a＜1
所以命题q：a＜1
因为命题p∨q为真，命题p∧q为假，所以命题p和q一真一假
若命题p真q假，则a≥2；若命题p假q真，则a＜1
综上，实数a的取值范围是（-∞，1）∪[2，+∞）

点评：本题考查通过分离参数求函数的最值求参数的范围、解决二次函数注意对二次项系数的讨论、复合命题的真假与构成其简单命题的真假关系．