Question

20．在平面直角坐标系中，把横坐标与纵坐标均为整数的点称为“整点”，已知四边形OABC的四个顶点坐标分别是O（0，0）、A（3，0），B（2，3），C（0，3），点P（x，y）是四边形OABC内部（含边界）的动点．
（1）如果P（x，y）是“整点”，请写出所有的整点坐标，并求满足|x-y|＞1的概率；
（2）当x，y∈R时，求|OP|≤2的概率．

Answer 1

分析 （1）作出图形，能求出所有的整点坐标，由此能求出满足|x-y|＞1的“整点”的概率．
（2）四边形OABC的面积S=$\frac{15}{2}$，|OP|≤2是一个半径为2个$\frac{1}{4}$个圆，面积为：$\frac{1}{4}×π×{2}^{2}=π$，由此利用几何概型能求出|OP|≤2的概率．

解答 解：（1）∵四边形OABC的四个顶点坐标分别是O（0，0）、A（3，0），B（2，3），C（0，3），
点P（x，y）是四边形OABC内部（含边界）的动点，
作出图形，如右图：
P（x，y）是“整点”，
所有的整点坐标有13个，分别为：
（0，0），（0，1），（0，2），（0，3），（1，0），（1，1），（1，2），
（1，3），（2，0），（2，1），（2，2），（2，3），（3，0），
满足|x-y|＞1的“整点”有5个，分别为：
（0，2），（0，3），（1，3），（2，0），（3，0），
∴满足|x-y|＞1的概率p₁=$\frac{5}{13}$．
（2）四边形OABC的面积S=$\frac{1}{2}（BC+OA）×OC$=$\frac{1}{2}（2+3）×3$=$\frac{15}{2}$，
|OP|≤2是一个半径为2个$\frac{1}{4}$个圆，面积为：$\frac{1}{4}×π×{2}^{2}=π$，
∴由几何概型得|OP|≤2的概率p₂=$\frac{π}{\frac{15}{2}}$=$\frac{2π}{15}$．

点评 本题考查概率的求法，考查古典概型、几何概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．