Question

12．如图，在△ABC中，C=$\frac{π}{4}$，角B的平分线BD交AC于点D，设∠CBD=θ，其中θ是直线x-2y+3=0的倾斜角．
（1）求sinA；
（2）若$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$=28，求AB的长．

Answer 1

分析 （1）根据θ是直线x-2y+3=0的倾斜角，求出sinθ和cosθ的值，角B的平分线BD交AC于点D，利用二倍角公式求出cos∠ABC，即可求出sinA；
（2）根据正弦定理求出AC，BC的关系，利用向量的夹角公式求出AC，可得BC，正弦定理可得答案．

解答 解：（1）∵θ是直线x-2y+3=0的倾斜角，∴tanθ=$\frac{1}{2}$，
又θ∈（0，$\frac{π}{2}$），故sinθ=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，cosθ=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，
则sin∠ABC=sin2θ=2sinθcosθ=2×$\frac{1}{\sqrt{5}}$×$\frac{2}{\sqrt{5}}$=$\frac{4}{5}$，
∴cos∠ABC=2cos²θ-1=2×$\frac{4}{5}$-1=$\frac{3}{5}$，
sinA=sin[π-（$\frac{π}{4}$+2θ）]=sin（$\frac{π}{4}$+2θ）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（sin2θ+cos2θ）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$•（$\frac{3}{5}$+$\frac{4}{5}$）=$\frac{7\sqrt{2}}{10}$
（2）由正弦定理，得$\frac{BC}{sinA}$=$\frac{AC}{sin∠ABC}$，即$\frac{BC}{\frac{7\sqrt{2}}{10}}$=$\frac{AC}{\frac{4}{5}}$，
∴BC=$\frac{7\sqrt{2}}{8}$AC．
又$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$|$\overrightarrow{CB}$|•|$\overrightarrow{CA}$|=28，∴|$\overrightarrow{CB}$|•|$\overrightarrow{CA}$|=28$\sqrt{2}$，
由上两式解得AC=4$\sqrt{2}$，
又由$\frac{AB}{sinC}$=$\frac{AC}{sin∠ABC}$，得$\frac{AB}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\frac{AC}{\frac{4}{5}}$，
∴AB=5．

点评 本题考查了二倍角公式和正弦定理的灵活运用和计算能力，是中档题．