Question

4．如图所示，△ABC是正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE=AB=4，CD=2，F是BE的中点．
（1）求几何体ABCDE的体积；
（2）求证：AF⊥BD．

Answer 1

分析 （1）把三棱锥E-ABD的体积转化为求三棱锥B-AED的体积，然后通过解三角形求得三棱锥B-AED的底面边长和高，则棱锥的体积可求．
（2）由已知条件推导出AF⊥BE，CG⊥AB，DF⊥AB，DF⊥FG，从而AF⊥平面BDF，由此能证明AF⊥BD．

解答 解：（1）∵AB=4，AE=4，CD=2，
△ABC是正三角形，∴AC=4
∵AE⊥平面ABC，∴EA⊥AC，
则S_△EAD=$\frac{1}{2}$×4×4=8，
又平面EACD⊥面ABC，
在平面ABC内过B作BH⊥AC，则AH⊥面ACDE，
在等边三角形ABC中，求得AH=2$\sqrt{3}$，
∴V_E-ABCD=V_B-AEDC=$\frac{1}{3}$S_AEDC•AH=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{4+2}{2}×4×2\sqrt{3}$=4$\sqrt{3}$．
（2）证明：Rt△ABE中，AE=4，AB=4，
F为BE中点，∴AF⊥BE，
∵△ABC是正三角形，∴CG⊥AB，
∴DF⊥AB，
又DF⊥FG，
∴DF⊥平面ABE，DF⊥AF，
∴AF⊥平面BDF，∴AF⊥BD．

点评 本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是中档题．