Question

16．如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上异于A，B的点，VC垂直于⊙O所在的平面，且AB=4，VC=3．
（Ⅰ）若点D在△VCB内，且DO∥面VAC，作出点D的轨迹，说明作法及理由；
（Ⅱ）求三棱锥V-ABC体积的最大值，并求取到最大值时，直线AB与平面VAC所成角的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取VB，CB的中点，分别记为E，F，连结E，F，由E，F分别为VB、CB的中点，得EF∥VC，从而DO∥面VAC，由此得到D点轨迹是EF．
（Ⅱ）设d为点C到直线AB的距离，由VC⊥面ABC，得到d=2，即C是$\widehat{AB}$的中点时，（V_V-ABC）_max=4，此时VC⊥BC，AC⊥BC，从而BC⊥面VAC，进而∠CAB是直线AB与面VAC所成的角，由此能求出三棱锥V-ABC体积取到最大值时，直线AB与平面VAC所成角为45°．

解答 解：（Ⅰ）取VB，CB的中点，分别记为E，F，
连结E，F，则线段EF即为点D的轨迹，如图所示．
理由如下：
∵E，F分别为VB、CB的中点，
∴EF∥VC，
又EF?面VAC，VC?面VAC，
又D∈EF，OD?面EOF，
∴DO∥面VAC，
∴D点轨迹是EF．
（Ⅱ）设d为点C到直线AB的距离，
∵VC⊥面ABC，
∴${V}_{V-ABC}=\frac{1}{3}×{S}_{△ABC}×VC$
=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×|AB|×d×|VC|$
=$\frac{1}{6}×4×d×3×2d$，
∵d∈（0，2]，∴当d=2，即C是$\widehat{AB}$的中点时，
（V_V-ABC）_max=4，
∵VC⊥面ABC，BC?面ABC，∴VC⊥BC，
∵AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∴AC⊥BC，
∵AC∩VC=C，∴BC⊥面VAC，
∴AC是AB在面VAC上的射影，
∴∠CAB是直线AB与面VAC所成的角，
∵C是$\widehat{AB}$的中点，
∴CA=CB，∴∠CAB=45°，
∴三棱锥V-ABC体积取到最大值时，直线AB与平面VAC所成角为45°．

点评 本题考查点的轨迹的作法，考查三棱锥的体积的最大值的求法及相应的角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．