Question

6．设函数f（x）=|x-2|+|x-a|，g（x）=|x|．
（1）若a=2时，解不等式f（g（x））≥2；
（2）如果?x∈R，f（x）≥2，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当a=2时，带入可得f（x）=2|x-2|，不等式f（g（x））≥2；即2||x|-2|≥2；即可求解．
（2）?x∈R，f（x）≥2，即求f（x）的最小值大于等于2即可．利用可绝对值的几何意义即可求出．

解答 解：函数f（x）=|x-2|+|x-a|，g（x）=|x|．
（1）当a=2时，可得f（x）=2|x-2|，
不等式f（g（x））≥2；即2||x|-2|≥2；
∴|x|-2≥1或|x|-2≤-1，
∴x≥3或x≤-3或-1≤x≤1．
故得原不等式的解集为{x|x≥3或x≤-3或-1≤x≤1}；
（2）?x∈R，f（x）≥2，即|x-2|+|x-a|≥2．
∵f（x）=|x-2|+|x-a|表示x到2和a的距离之和．
∴f（x）的最小值|2-a|．
?x∈R，|x-2|+|x-a|≥2．即|2-a|≥2，
可得：2-a≥2或2-a≤-2，
∴a≤0或a≥4．
故得?x∈R，f（x）≥2，a的取值范围是{a|a≤0或a≥4}．

点评 本题考查了绝对值的解法和几何意义的运用．属于中档题．