Question

15．数列{a_n}满足a₁=1，对任意的n∈N^*都有a_n+1=a_n+n+1，则$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{2017}}$=（　　）

• A． $\frac{2016}{2017}$
• B． $\frac{4032}{2017}$
• C． $\frac{4034}{2018}$
• D． $\frac{2017}{2018}$

Answer 1

分析 利用累加法求出数列的通项公式，代入$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{2017}}$，利用裂项相消法求和．

解答 解：由a_n+1=a_n+n+1，得a_n+1-a_n=n+1，
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=n+（n-1）+（n-2）+…+2+1=$\frac{n（n+1）}{2}$．
∴$\frac{1}{{a}_{n}}=\frac{2}{n（n+1）}=2（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．
则$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{2017}}$=$2（1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{2017}-\frac{1}{2018}）$
=2（1-$\frac{1}{2018}$）=$\frac{4034}{2018}$．
故选：C．

点评 本题考查数列递推式，考查了利用累加法求数列的通项公式，训练了裂项相消法求数列的前n项和，是中档题．