Question

10．在直角坐标系xOy中，直线l过点P （3，$\sqrt{5}$）且倾斜角为$\frac{3}{4}$π．在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=2$\sqrt{5}$sinθ．
（Ⅰ）求直线l的一个参数方程和圆C的直角坐标方程；
（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A，B，求|$\overrightarrow{PA}$|•|$\overrightarrow{PB}$|的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直接由已知写出直线l的参数方程，再由ρ²=x²+y²，y=ρsinθ化圆C的极坐标方程为直角坐标方程；
（Ⅱ）将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，化为关于t的一元二次方程，结合参数t的几何意义求解．

解答 解：（Ⅰ）∵直线l过点P （3，$\sqrt{5}$）且倾斜角为$\frac{3}{4}$π，
∴直线l参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=3+tcos\frac{3}{4}π}\\{y=\sqrt{5}+tsin\frac{3}{4}π}\end{array}\right.$，即 $\left\{\begin{array}{l}{x=3-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\sqrt{5}+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）；
由ρ=2$\sqrt{5}$sin θ，得${ρ}^{2}=2\sqrt{5}ρsinθ$，
即x²+y²-2$\sqrt{5}$y=0，化为标准方程得x²+（y-$\sqrt{5}$）²=5；
（Ⅱ）将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，
得（3-$\frac{\sqrt{2}}{2}$t）²+（$\frac{\sqrt{2}}{2}$t）²=5，即t²-3$\sqrt{2}$t+4=0．  
由于△=（-3$\sqrt{2}$）²-4×4=2＞0，
故可设t₁，t₂是上述方程的两实根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{t}_{1}+{t}_{2}=3\sqrt{2}}\\{{t}_{1}•{t}_{2}=4}\end{array}\right.$，
又直线l过点P（3，$\sqrt{5}$），
故由上式及t的几何意义得|PA||PB|=|t₁t₂|=4．

点评 本题考查简单曲线的极坐标方程，考查直线参数方程中此时t的几何意义的应用，是中档题．